Conception optimale de structures (Mathématiques et by Grégoire Allaire, M. de Schoenauer

By Grégoire Allaire, M. de Schoenauer

Notion optimale des buildings est une creation ? l. a. belief optimale de constructions, appel?e aussi optimisation de formes. Il est principalement destin? ? un public mixte de math?maticiens appliqu?s et de m?caniciens que relient un m?me int?r?t pour les functions num?riques.

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3). 1. On voit facilement que un ∈ V et que la dérivée (un )′ (x) ne prend que deux valeurs : +1 et −1. 4). 0 Pour obtenir des résultats d’existence en dimension infinie, on peut utiliser la notion de convexité. 5. Un ensemble K ⊂ V est dit convexe si, pour tout x, y ∈ K et tout réel θ ∈ [0, 1], l’élément (θx + (1 − θ)y) appartient à K. 6. On dit qu’une fonction J définie sur un ensemble convexe non vide K ∈ V et à valeurs dans R est convexe sur K si et seulement si J(θu + (1 − θ)v) ≤ θJ(u) + (1 − θ)J(v) ∀ u, v ∈ K, ∀ θ ∈ [0, 1].

C’est aussi ce que nous allons faire dans cet ouvrage. Cependant, il faut garder à l’esprit qu’en pratique, les choses sont beaucoup plus compliquées, comme souvent par rapport à un idéal mathématisé. En effet, le choix des trois ingrédients ci-dessus est rarement évident et “naturel” et constitue une partie non négligeable du travail de l’optimisation. Jamais le vieil adage “Bien poser le problème, c’est le résoudre à moitié” n’a été aussi vrai ! Tout d’abord le choix du modèle doit être un compromis entre un modèle précis, mais certainement coûteux en temps de calcul, et un modèle plus grossier, mais plus économique du point de vue du calcul.

22. Il existe un unique point selle (u, σ) du Lagrangien L(v, τ ) sur V × L2 (Ω)N L(u, σ) = max min L(v, τ ) = min τ ∈L2 (Ω)N v∈V max v∈V τ ∈L2 (Ω)N L(v, τ ). 2 Laplacien à coefficients variables 33 Autrement dit, u est l’unique point de minimum de J(v) dans V , σ est l’unique point de maximum de G(τ ) dans L2 (Ω)N, J(u) = min J(v) = max v∈V τ ∈L2 (Ω)N G(τ ) = G(σ), et ils sont reliés par la relation σ = A∇u. 23. 22) a une interprétation physique claire. Comme max G(τ ) = − min(−G(τ )), il s’agit de minimiser l’énergie (dite complémentaire) des contraintes mécaniques 21 Ω A−1 τ · τ dx parmi l’ensemble des champs de contraintes statiquement admissibles, c’est-à-dire vérifiant l’équilibre des forces −divτ = f dans Ω et τ · n = g sur ∂ΩN .

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