Differential geometry of spray and Finsler spaces by Zhongmin Shen

By Zhongmin Shen

This publication is a finished record of modern advancements in Finsler geometry and Spray geometry. Riemannian geometry and pseudo-Riemannian geometry are taken care of because the specific case of Finsler geometry. The geometric tools constructed during this topic are invaluable for learning a few difficulties bobbing up from biology, physics, and different fields.

Audience: The booklet may be of curiosity to graduate scholars and mathematicians in geometry who desire to transcend the Riemannian global. Scientists in nature sciences will locate the geometric tools awarded important.

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3). 1. On voit facilement que un ∈ V et que la dérivée (un )′ (x) ne prend que deux valeurs : +1 et −1. 4). 0 Pour obtenir des résultats d’existence en dimension infinie, on peut utiliser la notion de convexité. 5. Un ensemble K ⊂ V est dit convexe si, pour tout x, y ∈ K et tout réel θ ∈ [0, 1], l’élément (θx + (1 − θ)y) appartient à K. 6. On dit qu’une fonction J définie sur un ensemble convexe non vide K ∈ V et à valeurs dans R est convexe sur K si et seulement si J(θu + (1 − θ)v) ≤ θJ(u) + (1 − θ)J(v) ∀ u, v ∈ K, ∀ θ ∈ [0, 1].

C’est aussi ce que nous allons faire dans cet ouvrage. Cependant, il faut garder à l’esprit qu’en pratique, les choses sont beaucoup plus compliquées, comme souvent par rapport à un idéal mathématisé. En effet, le choix des trois ingrédients ci-dessus est rarement évident et “naturel” et constitue une partie non négligeable du travail de l’optimisation. Jamais le vieil adage “Bien poser le problème, c’est le résoudre à moitié” n’a été aussi vrai ! Tout d’abord le choix du modèle doit être un compromis entre un modèle précis, mais certainement coûteux en temps de calcul, et un modèle plus grossier, mais plus économique du point de vue du calcul.

22. Il existe un unique point selle (u, σ) du Lagrangien L(v, τ ) sur V × L2 (Ω)N L(u, σ) = max min L(v, τ ) = min τ ∈L2 (Ω)N v∈V max v∈V τ ∈L2 (Ω)N L(v, τ ). 2 Laplacien à coefficients variables 33 Autrement dit, u est l’unique point de minimum de J(v) dans V , σ est l’unique point de maximum de G(τ ) dans L2 (Ω)N, J(u) = min J(v) = max v∈V τ ∈L2 (Ω)N G(τ ) = G(σ), et ils sont reliés par la relation σ = A∇u. 23. 22) a une interprétation physique claire. Comme max G(τ ) = − min(−G(τ )), il s’agit de minimiser l’énergie (dite complémentaire) des contraintes mécaniques 21 Ω A−1 τ · τ dx parmi l’ensemble des champs de contraintes statiquement admissibles, c’est-à-dire vérifiant l’équilibre des forces −divτ = f dans Ω et τ · n = g sur ∂ΩN .

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